مقدمه‌ای بر احتمال | آمار و احتمال مهندسی

احتمال، زبان ریاضی برای صحبت‌کردن درباره‌ی عدم قطعیت است.

در بسیاری از مسائل مهندسی نمی‌توانیم نتیجه‌ی یک آزمایش یا فرایند را با اطمینان کامل پیش‌بینی کنیم؛ اما می‌توانیم مشخص کنیم هر نتیجه یا مجموعه‌ای از نتایج با چه احتمالی رخ می‌دهد.

چند سؤال معمول مهندسی

احتمال اینکه یک قطعه‌ی تولیدشده معیوب باشد چقدر است؟

احتمال اینکه یک سیستم در یک بازه‌ی زمانی مشخص از کار بیفتد چقدر است؟

احتمال مشاهده‌ی حداقل دو موفقیت در چند آزمایش چقدر است؟

اگر از میان چند قطعه به‌صورت تصادفی نمونه‌برداری کنیم، احتمال انتخاب قطعات سالم چقدر است؟

برای پاسخ‌دادن به چنین پرسش‌هایی، ابتدا باید مشخص کنیمچه نتایجی ممکن است رخ دهندو دقیقاً درباره‌ی کدام مجموعه از نتایج صحبت می‌کنیم.

سه مفهوم پایه

قبل از محاسبه‌ی احتمال، سه مفهوم را باید بشناسیم.

فضای نمونه

Sample Space

مجموعه‌ی تمام نتایج ممکن یک آزمایش.

پیشامد

Event

مجموعه‌ای از نتایج که برای مسئله‌ی ما اهمیت دارد.

احتمال

Probability

عددی که میزان امکان وقوع یک پیشامد را نشان می‌دهد.

آزمایش تصادفی چیست؟

اول باید بدانیم با چه نوع آزمایشی سروکار داریم.

فرض کنید یک تاس سالم را پرتاب می‌کنیم. نتیجه‌ی پرتاب را نمی‌توانیم قبل از انجام آزمایش با قطعیت مشخص کنیم، اما می‌دانیم چه نتایجی ممکن هستند:

به فرایندی که نتیجه‌ی آن از قبل به‌طور قطعی مشخص نیست، اما مجموعه‌ی نتایج ممکن آن را می‌توان تعیین کرد،آزمایش تصادفیمی‌گوییم.

مثال

پرتاب سکه، پرتاب تاس، انتخاب تصادفی یک قطعه از خط تولید و اندازه‌گیری عمر یک قطعه همگی می‌توانند به‌عنوان آزمایش تصادفی مدل شوند.

فضای نمونه

تمام نتایجی که ممکن است از آزمایش به دست بیایند.

مجموعه‌ی تمام نتایج ممکن یک آزمایش را با نماد $S$ نشان می‌دهیم.

فضای نمونه‌ی پرتاب یک تاس

S=\{1,2,3,4,5,6\}

اگر آزمایش، پرتاب یک سکه باشد:

S=\{\text{شیر},\text{خط}\}

اما فضای نمونه همیشه به این سادگی نیست.

یک مثال مهم: دو بار پرتاب سکه

اینجا ترتیب نتایج اهمیت پیدا می‌کند.

فرض کنید یک سکه را دو بار پرتاب می‌کنیم. نتایج ممکن عبارت‌اند از:

S=\{(H,H),(H,T),(T,H),(T,T)\}

در اینجا ترتیب نتایج مهم است. یعنی:

(H,T)\neq(T,H)

در حالت اول، پرتاب اول شیر و پرتاب دوم خط است؛ در حالی که در حالت دوم ترتیب برعکس شده است.

تعامل

فضای نمونه را ببین

دو بار پرتاب سکه

(H,H)

(H,T)

(T,H)

(T,T)

H یعنی شیر و T یعنی خط.

پیشامد چیست؟

همه‌ی نتایج برای ما اهمیت یکسانی ندارند.

فرض کنید در پرتاب دو سکه، سؤال ما این باشد:

احتمال اینکه دقیقاً یک بار شیر ظاهر شود چقدر است؟

ما دیگر به تمام فضای نمونه علاقه نداریم. فقط نتایجی برایمان مهم هستند که دقیقاً یک شیر دارند:

A=\{(H,T),(T,H)\}

این مجموعه را یک پیشامد (Event) می‌نامیم.

A\subseteq S

یعنی هر پیشامد، مجموعه‌ای از نتایج فضای نمونه است.

مثال مهندسی

همین مفاهیم را در یک سیستم واقعی‌تر ببینیم.

سیستم دو پمپه

فرض کنید یک سیستم شامل دو پمپ مستقل $A$ و $B$ است و هر پمپ می‌تواند یکی از دو وضعیت زیر را داشته باشد:

Wسالم (Working)

Fخراب (Failed)

بنابراین فضای نمونه برابر است با:

S=\{(W,W),(W,F),(F,W),(F,F)\}

اگر سیستم زمانی کار کند که حداقل یکی از دو پمپ سالم باشد، پیشامد عملکرد سیستم برابر است با:

A=\{(W,W),(W,F),(F,W)\}

تنها حالتی که سیستم از کار می‌افتد:

(F,F)

این مثال نشان می‌دهد قبل از محاسبه‌ی احتمال باید اول دقیقاً مشخص کنیم چه چیزی ممکن است اتفاق بیفتد و کدام نتایج برای مسئله‌ی ما اهمیت دارند.

مدل ذهنی این فصل

فعلاً هنوز احتمال را محاسبه نمی‌کنیم.

آزمایش

Experiment

نتایج ممکن

Possible Outcomes

فضای نمونه

Sample Space

پیشامد

Event

مسیر حل مسئله

آزمایش←نتایج ممکن←فضای نمونه←پیشامد

نکات این درس

آزمایش تصادفی نتیجه‌ی قطعی از پیش مشخص‌شده ندارد، اما نتایج ممکن آن قابل تعیین هستند.

فضای نمونه S شامل تمام نتایج ممکن آزمایش است.

پیشامد A مجموعه‌ای از نتایج فضای نمونه است.

برای حل یک مسئله‌ی احتمال، ابتدا باید فضای نمونه و پیشامد موردنظر را دقیق تعریف کنیم.