JOINLY.ورود / ثبت‌نام
یادگیری/آمار و احتمال مهندسی/اصول احتمال
فصل ۲درس ۲·فضای نمونه و پیشامدها

فضای نمونه و پیشامدها

قبل از اینکه بتوانیم احتمال یک رویداد را محاسبه کنیم، باید بدانیم دقیقاً درباره چه نتایجی صحبت می‌کنیم. در این درس دو مفهوم پایه را می‌سازیم:فضای نمونهوپیشامد.

Sample SpaceEventsUnionIntersectionComplementVenn DiagramsDeMorgan's Laws
02.01

قبل از احتمال، نتیجه‌ها را مشخص کنیم

یک آزمایش تصادفی را در نظر بگیر. نتیجه آن را نمی‌توانیم با قطعیت از قبل پیش‌بینی کنیم، اما معمولاً می‌توانیم مجموعه تمام نتایج ممکن را مشخص کنیم.

این مجموعه رافضای نمونهمی‌نامیم و باSSنشان می‌دهیم.

S={تمام نتایج ممکن آزمایش}S = \{\text{تمام نتایج ممکن آزمایش}\}
02.02

فضای نمونه چیست؟

فضای نمونه باید به اندازه‌ای دقیق تعریف شود که هر نتیجه ممکن آزمایش در آن قرار بگیرد. بسته به نوع آزمایش، این مجموعه می‌تواند چند عضو محدود یا حتی بی‌نهایت عضو داشته باشد.

01

تعیین جنسیت نوزاد

اگر تنها نتیجه موردنظر جنسیت نوزاد باشد، می‌توانیم فضای نمونه را به شکل زیر تعریف کنیم:

S={g,b}S = \{g,b\}

که در آنggنشان‌دهنده دختر وbbنشان‌دهنده پسر است.

02

ترتیب پایان یک مسابقه

فرض کن ۷ اسب در یک مسابقه شرکت کرده‌اند و می‌خواهیم ترتیب کامل پایان مسابقه را ثبت کنیم.

هر نتیجه یک جایگشت از اعداد ۱ تا ۷ است. بنابراین تعداد نتایج ممکن برابر است با:

∣S∣=7!=5040|S| = 7! = 5040

برای مثال نتیجه(2,3,1,6,5,4,7)یعنی اسب شماره ۲ اول، اسب شماره ۳ دوم و اسب شماره ۱ سوم شده است و به همین ترتیب.

03

پرتاب دو سکه

اگر دو سکه را پرتاب کنیم، برای هر سکه دو نتیجه ممکن داریم: شیر یا خط.

S={(H,H),(H,T),(T,H),(T,T)}S = \{(H,H),(H,T),(T,H),(T,T)\}

بنابراین فضای نمونه چهار عضو دارد.

04

پرتاب دو تاس

برای هر تاس ۶ نتیجه ممکن وجود دارد. چون نتیجه دو تاس را با یک زوج مرتب نمایش می‌دهیم:

S={(i,j):i,j∈{1,2,3,4,5,6}}S = \{(i,j): i,j \in \{1,2,3,4,5,6\}\}

در نتیجه تعداد نقاط فضای نمونه برابر است با:

∣S∣=6×6=36|S| = 6 \times 6 = 36
05

طول عمر یک قطعه

فرض کن طول عمر یک ترانزیستور را بر حسب ساعت اندازه می‌گیریم. در این حالت نتیجه یک عدد حقیقی نامنفی است.

S={x∈R:x≥0}S = \{x \in \mathbb{R}: x \geq 0\}

این مثال نشان می‌دهد که فضای نمونه الزاماً یک مجموعه متناهی نیست.

02.03

پیشامد چیست؟

هر زیرمجموعه‌ای از فضای نمونه را یکپیشامدیا Event می‌نامیم.

E⊆SE \subseteq S

اگر نتیجه آزمایش در مجموعهEEقرار بگیرد، می‌گوییم پیشامدEEرخ داده است.

06

پیشامد در پرتاب دو سکه

در آزمایش پرتاب دو سکه، پیشامد «در سکه اول شیر ظاهر شود» برابر است با:

E={(H,H),(H,T)}E = \{(H,H),(H,T)\}
07

جمع دو تاس برابر ۷

اگر دو تاس پرتاب کنیم، پیشامد اینکه مجموع دو تاس برابر ۷ باشد:

E={(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1)}E = \{(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1)\}
02.04

عملیات روی پیشامدها

چون پیشامدها مجموعه‌ای از نتایج هستند، می‌توانیم روی آنها همان عملیات اصلی نظریه مجموعه‌ها را انجام دهیم.

اجتماع

EcupFE \\cup F

اجتماع دو پیشامد شامل تمام نتایجی است که حداقل در یکی از دو پیشامد قرار دارند.

E∪F={x:x∈E or x∈F}E \cup F = \{x : x \in E \text{ or } x \in F\}

اشتراک

EcapFE \\cap F

اشتراک شامل نتایجی است که همزمان در هر دو پیشامد قرار دارند.

E∩F={x:x∈E and x∈F}E \cap F = \{x : x \in E \text{ and } x \in F\}

متمم

EcE^c

متممEEشامل تمام نتایج فضای نمونه است که درEEقرار ندارند.

Ec=S∖EE^c = S \setminus E

مجموعه تهی

varnothing\\varnothing

مجموعه تهی هیچ نتیجه‌ای ندارد. اگر دو پیشامد هیچ نتیجه مشترکی نداشته باشند، اشتراک آنها مجموعه تهی است.

E∩F=∅E \cap F = \varnothing
نمودارهای ون برای اجتماع، اشتراک، متمم و زیرمجموعه
نمودار ون برای نمایش عملیات روی پیشامدها
02.05

پیشامدهای ناسازگار

اگر دو پیشامد هیچ نتیجه مشترکی نداشته باشند، نمی‌توانند به صورت همزمان رخ دهند. به این دو پیشامدناسازگاریا Mutually Exclusive می‌گوییم.

E∩F=∅E \cap F = \varnothing
08

جمع ۶ و جمع ۷

در پرتاب دو تاس، پیشامد جمع برابر ۷ و پیشامد جمع برابر ۶ را در نظر بگیر.

E={(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1)}E = \{(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1)\}
F={(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1)}F = \{(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1)\}

هیچ زوج مرتبی در هر دو مجموعه وجود ندارد؛ بنابراین:

E∩F=∅E \cap F = \varnothing
02.06

اجتماع و اشتراک چند پیشامد

عملیات اجتماع و اشتراک فقط به دو پیشامد محدود نیستند. اگر مجموعه‌ای از پیشامدها داشته باشیم، می‌توانیم همه آنها را در یک اجتماع یا اشتراک قرار دهیم.

⋃i=1nEi\bigcup_{i=1}^{n} E_i

این عبارت شامل تمام نتایجی است که حداقل در یکی از پیشامدهایE1,ldots,EnE_1,\\ldots,E_nقرار دارند.

⋂i=1nEi\bigcap_{i=1}^{n} E_i

در مقابل، اشتراک شامل نتایجی است که در تمام این پیشامدها قرار دارند.

02.07

متمم یک پیشامد

متمم پیشامدEEشامل تمام نتایجی است که در فضای نمونه وجود دارند اما درEEنیستند.

Ec={x∈S:x∉E}E^c = \{x \in S : x \notin E\}
09

متمم جمع ۷

اگرEEرویداد «جمع دو تاس برابر ۷ است» باشد، آنگاهEcE^cرویداد «جمع دو تاس برابر ۷ نیست» خواهد بود.

Ec={(i,j)∈S:i+j≠7}E^c = \{(i,j)\in S : i+j \neq 7\}

چون آزمایش باید حتماً یک نتیجه داشته باشد، هیچ نتیجه‌ای نمی‌تواند خارج از فضای نمونه باشد. بنابراین متمم فضای نمونه مجموعه تهی است:

Sc=∅S^c = \varnothing
02.08

رابطه زیرمجموعه بودن

اگر تمام نتایج موجود در پیشامدEEدر پیشامدFFنیز وجود داشته باشند، می‌گوییمEEزیرمجموعهFFاست.

E⊆FE \subseteq F

این رابطه یک تفسیر احتمالی مهم هم دارد: اگرEEرخ دهد، رخ دادنFFنیز قطعی است.

E⊆F⟹E occurs ⇒F occursE \subseteq F \quad \Longrightarrow \quad E \text{ occurs } \Rightarrow F \text{ occurs}

اگر هر دو رابطه برقرار باشند:

E⊆FandF⊆E⟹E=FE \subseteq F \quad \text{and} \quad F \subseteq E \quad \Longrightarrow \quad E = F
نمودار ون رابطه زیرمجموعه بودن E و F
نمایش رابطه زیرمجموعه بودن با نمودار ون
02.09

نمودار ون

برای دیدن رابطه بین پیشامدها، می‌توانیم فضای نمونه را به شکل یک مستطیل و هر پیشامد را به شکل یک ناحیه درون آن نمایش دهیم. این نمایش را نمودار ون می‌نامیم.

اجتماع

EcupFE \\cup F
ناحیه‌ای که حداقل به یکی از دو مجموعه تعلق دارد.

اشتراک

EcapFE \\cap F
ناحیه مشترک بین دو پیشامد.

متمم

EcE^c
تمام فضای نمونه به جز خود پیشامد.
02.10

قوانین جبر مجموعه‌ها

اجتماع، اشتراک و متمم از قوانین مشابه جبر معمولی پیروی می‌کنند. دانستن این روابط بعداً هنگام ساده‌سازی عبارت‌های احتمالی بسیار مفید خواهد بود.

قوانین جابجایی

E∪F=F∪EE \cup F = F \cup E
E∩F=F∩EE \cap F = F \cap E

قوانین شرکت‌پذیری

(E∪F)∪G=E∪(F∪G)(E \cup F)\cup G = E\cup(F\cup G)
(E∩F)∩G=E∩(F∩G)(E\cap F)\cap G = E\cap(F\cap G)

قوانین توزیع‌پذیری

(E∪F)∩G=(E∩G)∪(F∩G)(E\cup F)\cap G = (E\cap G)\cup(F\cap G)
(E∩F)∪G=(E∪G)∩(F∪G)(E\cap F)\cup G = (E\cup G)\cap(F\cup G)
نمودار ون برای بررسی قانون توزیع‌پذیری
بررسی یک قانون توزیع‌پذیری با نمودار ون
02.11

قوانین دمورگان

دو رابطه بسیار مهم بین اجتماع، اشتراک و متمم وجود دارد که به قوانین دمورگان معروف‌اند.

(⋃i=1nEi)c=⋂i=1nEic\left(\bigcup_{i=1}^{n}E_i\right)^c = \bigcap_{i=1}^{n}E_i^c
(⋂i=1nEi)c=⋃i=1nEic\left(\bigcap_{i=1}^{n}E_i\right)^c = \bigcup_{i=1}^{n}E_i^c

چطور آنها را به خاطر بسپاریم؟

وقتی متمم وارد پرانتز یک اجتماع می‌شود، اجتماع به اشتراک تبدیل می‌شود و متمم روی تک‌تک مجموعه‌ها اعمال می‌شود. همین اتفاق برای اشتراک هم برعکس رخ می‌دهد.

روابط متمم اجتماع و اشتراک بر اساس قوانین دمورگان
قوانین دمورگان
بررسی سریع

قبل از رفتن به درس بعدی

اگر دو تاس پرتاب کنیم وEEرویداد «جمع دو تاس حداقل ۱۰ است» باشد، کدام عبارت رویداد متمم را بهتر توصیف می‌کند؟

نمایش پاسخ

متممEcE^cیعنی «جمع دو تاس کمتر از ۱۰ است».

Ec={(i,j):i+j<10}E^c = \{(i,j): i+j < 10\}
←درس قبلدرس بعد